Un poste de commandement utilise deux systèmes de communication indépendants et identiques, chacun ayant une durée de vie modélisée par une variable aléatoire exponentielle de paramètre \(\lambda = 0.05\). Cela signifie que pour \(i=1\) ou \(2\), la durée de vie \(X_i\) (en heures) du système \(i\) suit une loi exponentielle \(\mathcal{E}(0.05)\).
On rappelle que la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) a pour densité : \[f: x \mapsto \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \textrm{si } x > 0, \\ 0 & \textrm{sinon.} \end{cases}\]
Pour améliorer la fiabilité, le poste de commandement utilise les deux systèmes en parallèle : dès qu’un système tombe en panne, une alerte est déclenchée et une équipe technique intervient. On s’intéresse au temps \(T\) avant la première défaillance, défini par : \[T = \min(X_1, X_2).\]
Montrer que, pour \(i = 1\) ou \(2\) et \(x > 0\), on a \(\mathbb{P}(X_i > x) = \exp(-\lambda x)\).
Montrer que, pour \(x > 0\), on a : \(\mathbb{P}(T > x) = \mathbb{P}(X_1 > x \cap X_2 > x)\) et en déduire que \(\mathbb{P}(T > x) = \exp(-2 \lambda x)\).
En déduire que la variable aléatoire \(T\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.