Pour toute variable aléatoire \(T\), on définit la transformée de Laplace \(\mathcal{L}_{\cdot}(T) \colon \R_+ \to \R\) par :
\[\forall t \in \R_+, \quad \mathcal{L}_t(T)=\mathbb{E}(e^{-tT}).\]
On admet le résultat suivant :
Si \(T_1,T_2\) sont des variables aléatoires absolument continues telles que pour tout \(t\geq 0\), \(\mathcal{L}_t(T_1)=\mathcal{L}_t(T_2)\), alors les variables \(T_1\) et \(T_2\) suivent la même loi.
On admet également que pour tout \(n \in \N^*\) : \[\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx = n!\]
Soit \(n \in \N^*\) quelconque et soit \(Z_1,Z_2,\cdots{},Z_n\) une famille de \(n\) variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{2}\). L’objectif de l’exercice est de déterminer la loi de \(S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Z_i\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes. Démontrer que pour tout \(t\geq 0\) : \[\mathcal{L}_t(X+Y)=\mathcal{L}_t(X)\mathcal{L}_t(Y).\]
Déterminer \(\mathcal{L}_{t}(Z_1)\) et en déduire \(\mathcal{L}_t(S_n)\) pour tout \(t\geq 0\).
On pose pour tout \(x \in \R\) : \[f_U(x)=\mathrm{1}_{\R^{+}}(x)\frac{1}{2^n}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\,e^{-\frac{x}{2}}.\]
Vérifier que \(f_U\) est bien une fonction densité de probabilité.
Soit \(U\) une variable aléatoire absolument continue de densité de probabilité \(f_U\). Calculer, pour tout \(t\geq 0,\) \(\mathcal{L}_t(U)\). Conclure.