pour tout \(t\), \(F_Y(t)= \PP(X^2 \leq t)\)
si \(t \geq 0\), \(\{X^2 \leq t\} = \{X \in [-\sqrt{t};\sqrt{t}] \}\) ;
si \(t<0\) \(\{X^2 \leq t\} = \emptyset\)
donc pour tout \(t \geq 0\), \[F_Y(t) = \PP(X \in [-\sqrt{t};\sqrt{t}]) = \int_{-\sqrt{t}}^{+\sqrt{t}} \frac{1}{2}\textbf{1}_{[-1;1]}(x) dx\] si \(0 \leq t \leq 1\) alors \(F_Y(t)=\int_{-\sqrt{t}}^{+\sqrt{t}} \frac{1}{2} dx = \sqrt{t}\)
si \(t>1\) alors \(F_Y(t)=\int_{-1}^1 \frac{1}{2} dx = 1\)
pour tout \(t \in ]0;1[\), \(F_Y\) est dérivable en \(t\) et \(F_Y'(t) = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{t}}\) donc en intégrant, \(F_Y(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\) de sorte que \(F_Y(0)=0\) et \(F_Y(1)=1\).
Pour résumer ces conditions, on peut écrire que pour tout \(t \in \R\), \[F_Y(t) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \textbf{1}_{[0;1]}(x)dx\]

On en déduit que \(Y\) admet pour densité la fonction \(g \colon x \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}} \textbf{1}_{[0;1]}(x)\)

Changement de variables aléatoires