On pose \(U=X+Y\), \(V=X-Y\) et on étudie la loi du couple \((U,V)\). D’après le théorème de transfert, si \(h\) est continue bornée,

\[\mathbb{E}(h(U,V))= \frac{3}{8} \int_{[-1;1]^2}^{} h(x+y,x-y) (x^2+y^2)dxdy\]

Pour faire apparaître la densité de \((U,V)\), on effectue le changement de variable \[(u,v)=(x+y,x-y)\] (c’est une bijection de classe \(\mathcal{C}^1\)). La réciproque s’écrit \((x,y)=(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})\). La matrice jacobienne est \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}\) et la valeur absolue de son déterminant est \(\frac{1}{2}\). On peut donc écrire \(dxdy=\frac{1}{2}dudv\) et on a finalement :

\[\mathbb{E}(h(U,V))= \frac{3}{8} \int_{C}^{} h(u,v) (\frac{u^2+v^2}{2})\frac{1}{2}dudv\] où \(C= \{(u,v) \in \R^2 /-2 \leq u+v \leq 2 \text{ et } -2 \leq u-v \leq 2 \}\) est le carré image de \([-1;1]^2\) par le changement de variables.

On en déduit que \((U,V)\) a pour densité la fonction \(g\) définie par \[g(u,v)=\frac{3}{16}(u^2+v^2) \textbf{1}_C(u,v)\] Pour avoir indépendamment la loi de \((X+Y)\) et \((X-Y)\), il resterait à calculer les lois marginales.

Couple de variables aléatoires