Soit \(X\) une variable aléatoire dont la loi est déterminée par la fonction densité définie pour tout \(x \in \R\) par : \[f_X(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]\] avec \(\mu \in \R\) et \(\sigma >0\) fixés.
1
A l’aide d’un changement de variable, calculer \(\mathbb{E}(X)\).
2
Calculer la variance de \(X\).
3
Soit \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\). Déterminer la loi de \(Z\).