Soit \(X\) une variable aléatoire de densité \(f_{\theta}\) définie par : \[f_{\theta}(x) = \theta x^{\theta-1} 1_{]0;1[}(x)\] où \(\theta >0\). Soit une suite \((X_n)\) de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la même loi que \(X\). On pose \[\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \qquad \text{} \qquad U_n = \frac{\overline{X}_n}{1-\overline{X}_n}\]
Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(V(X)\).
Montrer que la suite \((\overline{X}_n)\) converge en probabilité vers un réel \(g(\theta)\) que l’on précisera.
En déduire que la suite \((U_n)\) converge en probabilité vers le réel \(\theta\).
On pose \[T_n = \frac{1}{1+U_n} \sqrt{ \frac{U_n}{U_n+2} }\] La suite \((T_n)\) converge-t-elle en probabilité ? Si oui, déterminer sa limite.
Vérifier que la suite \((V_n)\) définie par \[V_n = \sqrt{n}\left(\overline{X}_n - \frac{\theta}{\theta+1} \right)\] converge en loi vers une loi normale dont on précisera les paramètres.
Déterminer une suite de réels \((a_n)\) et un un réel \(m(\theta)\) tels que la suite de variables aléatoires \((Z_n)\) définie par \[Z_n = a_n \frac{ \overline{X}_n - m(\theta)}{T_n}\] converge en loi vers une limite à préciser.