Donner la définition d’une sous-variété \(M\) de \(\Rr^n\) de dimension \(k\).
Enoncer le théorème des fonctions implicites.
Soit \(M = \{\,(x,y,z)\in \Rr^3 \mid x^2 + y^2 - z^2 +1 = 0\ ,\ z>0\,\}\). Montrer que \(M\) est une sous-variété de \(\Rr^3\) de dimension 2.
On définit la projection stéréographique \(s\) de \(\Rr^3 \setminus\{\,(x,y,z)\mid z=-1\,\}\) sur \(\Rr^2 \cong \{\,(x,y,z) \mid z=0\,\}\) par la procédure suivante. Pour un point \(P=(x,y,z)\) on trace la droite \(d=\overline{PS}\) où \(S=(0,0,-1)\). L’image \(s(P)\) est l’intersection de la droite \(d\) avec le plan \(z=0\).
Calculer explicitement l’application \(s\).
Calculer l’image \(D= s(M)\).
Calculer “l’inverse” de l’application \(s:M \to D\).
Soit \(X\) le champ de vecteurs sur \(\Rr^3\) donné par \[X_{|(x,y,z)} = x \frac{\partial}{\partial z}_{|(x,y,z)} + z \frac{\partial}{\partial x}_{|(x,y,z)} \ \cong\ (z,0,x)\ .\]
Calculer le flot du champ \(X\).
Montrer que \(X\) est tangent à \(M\), c’est-à-dire que pour tout \((x,y,z)\in M\) le vecteur \(X_{|(x,y,z)}\) appartient à l’espace tangent \(T_{(x,y,z)}M\).
Calculer l’expression de \(X\) dans la carte \(D\) de \(M\).
Calculer le flot du champ sur \(D\) obtenu en i).