Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle.
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty a_n\sin nx\) converge uniformément sur
\(\R\) si et seulement si \(na_n \to 0\) lorsque \(n\to\infty\).
Pour le sens direct : utiliser le critère de convergence uniforme de Cauchy
et l’inégalité : \(\sin x \ge \frac{2x}\pi\) sur \([0,\pi/2]\).