\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles sont à gauche : \(q_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(\chi^2(\nu)\), avec une probabilité \(\gamma\) à gauche du quantile.
Les variables \(X_1,\ldots,X_5\) sont indépendantes, de loi \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), \(\sigma>0\). On pose \[\begin{align*} T_1&=\frac15\sum_{i=1}^5X_i, & T_2&=\frac{X_1+X_2}{5}+\frac{X_3+X_4+X_5}{4},\\ T_3&=\frac{2X_1+3X_2}{10}+\frac{X_3+2X_4+X_5}{8},\\ U&=\frac{\sum_{i=1}^5(X_i-\mu)^2}{\sigma^2},&V&=\frac{\sum_{i=1}^5(X_i-T_1)^2}{\sigma^2}. \end{align*}\]
Quelle est la loi suivie par la variable \(X_1-X_2\) ? Justifier.
On cherche à estimer \(\mu\) à l’aide des estimateurs \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\). Étudier leur biais et comparer l’efficacité des estimateurs sans biais.
Quelle est la loi suivie par la variable \(U\) ? Et par la variable \(V\) ? Justifier.
Déterminer \(x \in \mathbb R\) tel que \(\mathbb P(U>x) = 0{,}05\).
En utilisant \(T_1\) et \(U\), construire une variable \(Y\) qui suive une loi de Student dont on précisera le paramètre.