\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\).
Une machine de production fabrique des pièces en grande série. Lorsque la machine est bien réglée, la proportion de pièces défectueuses est \(p_0=0{,}05\). Lorsqu’elle est déréglée, cette proportion passe à \(p_1=0{,}10\).
Pour vérifier l’état de la machine, on prélève un échantillon aléatoire de \(n=100\) pièces dans la production, et on observe \(k_{\mathrm{obs}}=8\) pièces défectueuses. On modélise les états des pièces par des variables \(X_1,\ldots,X_n\) indépendantes de loi \(\mathcal B(1,p)\), avec \(X_i=1\) si la pièce \(i\) est défectueuse, 0 sinon.
On pose \[K_n=\sum_{i=1}^nX_i,\qquad F_n=\frac{K_n}{n}, \qquad f_{\mathrm{obs}}=\frac{k_{\mathrm{obs}}}{n}=0{,}08.\]
Pour \(n=100\), on abrège \(K=K_{100}\) et \(F=F_{100}\). On souhaite tester \[\begin{cases} H_0:p=p_0=0{,}05 &\text{(la machine est bien réglée)},\\ H_1:p=p_1=0{,}10 &\text{(la machine est déréglée)}. \end{cases}\] On utilise d’abord l’approximation normale, puis on compare avec le modèle binomial exact. Les calculs normaux sont effectués sans correction de continuité.
Justifier que, sous \(H_0\), la statistique de test \[T_n=\frac{F_n-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}\] suit approximativement une loi \(\mathcal N(0,1)\) pour \(n\) assez grand.
On note \(\pi\) la valeur critique : on rejette \(H_0\) si \(F_n>\pi\). En utilisant la définition du risque de première espèce, exprimer ce risque en fonction de \(\pi\), \(p_0\) et \(n\), exactement puis avec l’approximation normale.
Pour un seuil nominal \(\alpha=0{,}05\), déterminer la valeur critique normale \(\pi\) et en déduire les régions de non-rejet et de rejet en termes de fréquence observée. Comparer avec une règle binomiale exacte de niveau au plus \(5\%\).
Au vu des données (\(f_{\mathrm{obs}}=0{,}08\)), peut-on conclure que la machine est bien réglée au seuil nominal \(\alpha=5\%\) ? Calculer également la \(p\)-valeur normale approchée, puis la \(p\)-valeur exacte.
Calculer le risque de seconde espèce \(\beta\), c’est-à-dire la probabilité de ne pas rejeter \(H_0\) alors que la machine est effectivement déréglée. Donner également la puissance. Distinguer l’approximation normale et les risques binomiaux des deux règles entières.
On souhaite désormais dimensionner le plan de contrôle. Quelle taille d’échantillon \(n\) permettrait de rejeter \(H_0\) avec une fréquence observée exactement égale à \(f_{\mathrm{obs}}=0{,}08\), au seuil nominal de \(5\%\) ? Comparer la règle normale et le test exact. Interpréter le résultat : pourquoi augmenter la taille de l’échantillon ?
[Bonus] Représenter graphiquement sur un même schéma les deux densités normales qui approchent la loi de \(F\) sous \(H_0\) et sous \(H_1\), la région critique et les risques approchés \(\alpha\) et \(\beta\). Ce graphique permet de visualiser la puissance du test.