Les cas \(n=1\) et \(n=2\) sont immédiats. On peut supposer \(n\geq 3\). On vérifie aisément la formule \((a_1 \hskip 2pt a_2\hskip 2pt\ldots\hskip 2pt a_{n-1}\hskip 2pt a_n)\ (a_{n-1} \hskip 2pt a_n\hskip 2pt a_{n-2} \ldots\hskip 2pt a_2\hskip 2pt a_1) = (a_1 \hskip 2pt a_n \hskip 2pt a_{n-1})\) où \(a_1,\ldots,a_n\) sont les éléments d’un ensemble de cardinal \(n\). On en déduit que le groupe \(PC_n\) engendré par les permutations circulaires contient les \(3\)-cycles et donc le groupe alterné \(A_n\) (voir exercice [ex:deb67]). Les permutations circulaires sont de signature \((-1)^{n-1}\). Si \(n\) est impair, elles sont donc paires d’où \(PC_n\subset A_n\) et donc finalement \(PC_n = A_n\) dans ce cas. Si \(n\) pair, les permutations circulaires sont impaires, donc \(PC_n\not=A_n\). L’indice de \(PC_n\) dans \(S_n\) devant diviser \(2\) (puisque \(PC_n\supset A_n\)), il vaut \(1\), c’est-à-dire \(PC_n=S_n\).

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