Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasard et on note \(X\) la variable aléatoire correspondant au numéro obtenu.
La loi de probabilité de \(X\) est définie par le tableau suivant, où \(a\) est une constante réelle : \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}1 & a & 0{,}3 & 2a & 0{,}15 \\ \hline \end{array}\]
Déterminer la valeur de la constante \(a\).
Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\). Quelle interprétation peut-on donner à ce résultat ?
Calculer la variance \(V(X)\), puis en déduire l’écart-type \(\sigma(X)\).
On utilise désormais les résultats de la variable X pour un test de contrôle qualité sur une chaine de
production. On sait que :
— Si le jeton tiré est pair (évènement A), la probabilité que la pièce produite soit défectueuse (évènement
D) est de \(0,05\).
— Si le jeton tiré est impair (évènement B), la probabilité que la pièce soit défectueuse est de \(0,12\).
Calculer la probabilité des événements \(A\) et \(B\).
Calculer la probabilité totale qu’une pièce soit défectueuse, c’est-à-dire \(P(D)\).
On tire une pièce au hasard et on constate qu’elle est défectueuse. Quelle est la probabilité que le jeton tiré initialement ait été pair ?