On dit qu’un ensemble \(A\) est dénombrable s’il est en bijection avec une partie de \(\N\).
1
Montrer que \(\N^*\) et \(\Z\) sont dénombrables.
2
Montrer que \(\N^2\) et \(\Z\times \N^*\) sont en bijection.
Montrer que l’application \((j,k)\in \N^2 \donne 2^j(2k+1)\) est une bijection de \(\N^2\) dans \(\N^*\).
En déduire que \(\N^2\) et \(\Z\times \N^*\) sont dénombrables.
3
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles tels que \(B\) est dénombrable. On suppose qu’il existe une injection de \(A\) dans \(B\). Montrer que \(A\) est dénombrable.
4
Construire une injection de \(\Q\) dans une partie infinie de \(\Z\times \N^*\). Déduire de la question précédente que \(\Q\) est dénombrable.