Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et \(V=]0,+\infty[ \times ]-\frac \pi 2, \frac \pi 2[\). On définit la fonction \[\begin{array}{lrll} \Psi ~: &V &\to& \R^2\\ &(r,\theta) &\mapsto& (r \cos \theta, r\sin \theta)\end{array}\]
Montrer que \(U\) et \(V\) sont des ouverts de \(\R^2\) et que \(\Psi\) est de classe \({\cal C}^1\) et bijective de \(V\) sur \(U\). Déterminer \(\Psi^{-1}\).
Soit \(f~:\, U \to \R\) de classe \({\cal C}^1\) sur \(U\). On pose \[F(r,\theta)=f \circ \Psi (r,\theta) = f(r \cos \theta, r \sin \theta).\]
Montrer que \(f\) est de classe \({\cal C}^1\) sur \(U\) et calculer \(\frac{\partial F}{\partial r}\) et \(\frac{\partial F}{\partial \theta}\) en fonction de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\).
Montrer que \(f\) vérifie l’équation \[(E)\qquad a \frac{\partial f}{\partial x} (a,b) + b \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \sqrt{a^2+b^2} \,\mbox{arctan} \left(\frac b a\right) \quad \forall (a,b)\in U\] si et seulement si \(F\) vérifie l’équation
\[(E')\qquad \frac{\partial F}{\partial r} (r_0,\theta_0)=\theta_0 \quad \forall (r_0,\theta_0)\in V.\]
Déterminer toutes les fonctions \(f~:\, U\to \R\) de classe \({\cal C}^1\) sur \(U\) qui vérifient l’équation \((E)\).