On pose \(\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}\).
Soit \(f:\R^2\rightarrow\R\) la fonction définie par \[f(x,y)=\begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &\text{si\ } (x,y)\in\Omega\\ 0 &\text{si\ } (x,y)= (0,0). \end{cases}\]
1
Montrer que \(f\) est différentiable sur \(\Omega\) et calculer sa différentielle.
2
Montrer que \(f\) est différentiable en \((0,0)\) et que sa différentielle est nulle.
3
Montrer que \(f\) admet en tout point des dérivées partielles secondes \(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\) et calculer la valeur de ces dérivées en \((0,0)\). Que peut-on en déduire pour la continuité de ces dérivées partielles en \((0,0)\) ?