Soit \(y\) une solution développable en série entière, de rayon de convergence \(R\): on note \(\displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) et on a \[\forall x \in ]-R;R[, \qquad y'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^{n-1} \quad \text{ et } \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.\] On a les équivalences suivantes: \[\begin{align*} y \text{ solution de }(E) \ & \Leftrightarrow \ \forall x \in ]-R;R[, \ a_0+(a_2-a_1)x^2 + \sum_{n=3}^{+\infty} [(n^2-2n+1)a_n - (n^2-2n+1)a_{n-1}] x^n =0 \\ \ & \Leftrightarrow \ a_0=0 \quad \text{ et } \quad a_2=a_1 \quad \text{ et } \quad \forall n \geq 3, \ a_n=a_{n-1} \end{align*}\] On en conclut que \(a_0=0\) et pour tout \(n\geq 1\), \(a_n=a_1\) et donc les solutions développables en série entière au voisinage de \(0\) de cette équation différentielle sont les fonctions \(y_\alpha\), avec \(\alpha\in\R\), définies par: \[y(x)=\alpha \sum_{n=1}^{+\infty} x^n\] sur l’intervalle \(]-1;1[\). On peut également déterminer la fonction somme, ce qui donne \[\forall x \in ]-1;1[, \qquad y(x)=\alpha x\sum_{n=0}^{+\infty} x^n=\frac{\alpha x}{1-x}.\]

Séries entières solutions d'équations différentielles