On tire sur une cible munie d’un repère orthonormé centrée sur son origine \(O\). On note \((X,Y)\) les coordonnées cartésiennes d’un tir. On remarque que lorsque le tireur vise le centre de la cible, la loi suivie par \((X,Y)\) admet une densité
\[f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi} e^{\frac{-x^2-y^2}{2}}\]
On note \(R\) la distance entre le point d’impact et le point visé.
Calculer les lois marginales du couple \((X,Y)\). Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Ecrire la fonction de répartition de \(R\) sous la forme d’une intégrale double, puis effectuer le changement de variables en coordonnées polaires pour simplifier l’expression.
En déduire une densité de \(R\). La loi obtenue s’appelle la loi de Rayleigh
Montrer que \(R^2\) suit une loi exponentielle \(\mathcal{E}(1/2)\).
Montrer que si \(\Theta\) est la variable aléatoire telle que \(X=R\cos(\Theta)\), \(Y=R\sin(\Theta)\), alors \(\Theta\) suit une loi uniforme sur l’intervalle \([0;2\pi]\).
En déduire une simulation de la loi du couple \((X,Y)\).