Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par \[f_{\theta}(x) = (1 - \theta )1_{[-\frac{1}{2} ; 0]}(x) + (1 + \theta )1_{]0 ; \frac{1}{2}]}(x)\] où \(\theta\) est un paramètre réel tel que \(|\theta| \neq 1\).
A quelles conditions sur \(\theta\) la fonction \(f_\theta\) est bien une densité de probabilité ?
Calculer l’espérance de \(X\).
Soient \(n\) variables aléatoires \(X_1,...,X_n\) indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de \(X\). On définit les variables aléatoires : \[U_n = \sum_{i=1}^{n} 1_{]-\infty;0]}(X_i) \qquad V_n = \sum_{i=1}^{n} 1_{]0;+\infty[}(X_i)\]
Vérifier que si \(1 \leq i \ \leq n\) alors la variable aléatoire \(1_{]0;+\infty[}(X_i)\) suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
En déduire que \(V_n\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Vérifier que la variable aléatoire \(U_n+V_n\) est constante.
Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(\dfrac{V_n-U_n}{n}\).
Vérifier que \(\mathbb{E}(U_nV_n) = (n^2-n)\frac{1-\theta^2}{4}\) et en déduire \(\textrm{cov}(U_n, V_n)\).
Montrer que la variance de \(\dfrac{V_n-U_n}{n}\) tend vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.