\(\Delta=\mbox{det}M=\mbox{Van}(1,2,...,n)\neq0\) et le système est de Cramer. Les formules de Cramer fournissent alors pour \(k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(x_k=\frac{\Delta_k}{\Delta}\) où

\[\Delta_k=\mbox{Van}(1,...,k-1,0,k+1,...,n)=(-1)^{k+1}\left| \begin{array}{cccccc} 1&\ldots&k-1&k+1&\ldots&n\\ 1& &(k-1)^2&(k+1)^2& &n^2\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ & & & & & \\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1& &(k-1)^{n-1}&(k+1)^{n-1}& &n^{n-1} \end{array} \right|.\] (en développant par rapport à la \(k\)-ème colonne). Par linéarité par rapport à chaque colonne, on a alors

\[\begin{align*}\ensuremath \Delta_k&=(-1)^{k+1}1\times2...\times(k-1)\times(k+1)\times...\times n\times\mbox{Van}(1,2,...,k-1,k+1,...,n)\\ &=(-1)^{k+1}\frac{n!}{k}\frac{\mbox{Van}(1,2,...,n)}{(k-(k-1))...(k-1)((k+1)-k)....(n-k)}=(-1)^{k+1}\frac{n!}{k!(n-k)!}\Delta, \end{align*}\] et donc,

\(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,\;x_k=(-1)^{k+1}C_n^k\).

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