Soit \(G\) un groupe fini et \(X\) un \(G\)-ensemble transitif. On dira que \(X\) est imprimitif si \(X\) admet une partition \(X=\bigcup _{1\leq i\leq r} X_i\) telle que tout élément \(g\) de \(G\) respecte cette partition, i.e. envoie un sous-ensemble \(X_i\) sur un sous-ensemble \(X_k\) (éventuellement \(k=i\)) et telle que \(2\leq r\) et les parties \(X_i\) ne sont pas réduites à un élément. Dans le cas contraire on dit que \(X\) est primitif.
(a) Montrer que dans la décomposition précédente, si elle existe, tous les sous-ensembles \(X_i\) ont même nombre \(m\) d’éléments.
(b) Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\). Montrer que \(G/H\) est imprimitif si et seulement s’il existe un sous-groupe propre \(K\) de \(G\) différent de \(H\) tel que \(H\subset K \subset G\) (on regardera la partition de \(G/H\) en classes modulo \(K\)).
(c) Déduire de ce qui précède que \(X\) est primitif si et seulement si le fixateur d’un élément \(x\) de \(X\) est maximal parmi les sous-groupes propres de \(G\).
(d) On suppose ici que \(X\) est primitif et que \(H\) est un sous-groupe distingué de \(G\) dont l’action n’est pas triviale sur \(X\). Montrer qu’alors \(H\) agit transitivement sur \(X\).