Si la famille \((x_1,...,x_n)\) est liée, l’inégalité est vraie.

Si la famille \((x_1,...,x_n)\) est libre, on peut considérer \(B_0 =(e_1,...,e_n)\) l’orthonormalisée de Schmidt de la famille \((x_1,...,x_n)\). Les bases \(B_0\) et \(B\) sont des bases orthonormées de \(E\) et donc

\[\begin{align*}\ensuremath \left|\text{det}_B(x_1,...,x_n)\right|&=\left|\text{det}_{B_0}(x_1,...,x_n)\right| =\text{abs}\left(\left|\begin{array}{cccc}(x_1|e_1)&\times&\ldots&\times\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\times\\ 0&\ldots&0&(x_n|e_n)\end{array}\right|\right)\\ &=\prod_{k=1}^{n}|(x_k|e_k)|\leqslant\prod_{k=1}^{n}\|x_k\|\|e_k\|\;(\text{d'après l'inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}})\\ &=\prod_{k=1}^{n}\|x_k\|. \end{align*}\]

\(\forall(x_1,\ldots,x_n)\in E^n\), \(\left|\text{det}_B(x_1,...,x_n)\right|\leqslant\prod_{k=1}^{n}\|x_k\|\) (inégalité de Hadamard).

Ensuite,

- si la famille \((x_1,...,x_n)\) est liée, on a l’égalité si et seulement si l’un des vecteurs \(x_k\) est nul

- si la famille \((x_1,...,x_n)\) est libre, on a l’égalité si et seulement si \(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(|(x_k|e_k)|=\|x_k\|\|e_k\|\). Les cas d’égalité

de l’inégalité de Cauchy-Schwarz étant connus, on a l’égalité si et seulement si \(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(x_k\) est colinéaire à \(e_k\)

ou encore si et seulement si la famille \((x_1,...,x_n)\) est orthogonale.

En résumé, l’inégalité de Hadamard est une égalité si et seulement si la famille \((x_1,...,x_n)\) est orthogonale libre ou si l’un des vecteurs est nul.

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