Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soit \(L\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\).
Montrer que \(L\) est continue en \(0\) si et seulement si elle est continue en tout point de \(E\).
On suppose qu’il existe une constante \(K>0\) telle que \[\|L(x)\|_F\le K\|x\|_E \qquad \forall x\in E.\] Montrer que \(L\) est continue.
Dans la suite, on suppose que \(L\) est continue et on pose \[K=\sup_{\|x\|_E=1} \|L(x)\|_F.\]
Supposons que \(K=+\infty\). Montrer qu’alors il existe une suite \((x_n)\) dans \(E\) telle que \(\|x_n\|=1\) pour tout \(n\) et telle que \(\|L(x_n)\|_F\) tend vers \(+\infty\). En déduire qu’il existe une suite \(y_n\) tendant vers \(0\) et telle que \(\|L(y_n)\|_F=1\).
En déduire que \(K\in \R_+\) et que pour tout \(x\in E\) on a \[\|L(x)\|_F\le K\|x\|_E.\]