Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), définies et continues sur \([ \mbox{-1,1}]\).
Montrer que les trois applications suivantes sont des normes sur \(E\): \[f\longrightarrow \| {f}\|_{1} = \int_{-1}^{+1}|f(x)|dx ,~~~ f\longrightarrow \| {f}\|_{2} = (\int_{-1}^{+1}f^2(x)dx) ^{1\over 2}\]
\[f\longrightarrow \| {f}\|_\infty = \sup_{x\in [-1,+1]}\{ |f(x)|\}\]
On considère la suite \((f_n)_{n\in N^*}\) de fonctions définies par
\(f_n(x)=
\left\{
\begin{array}{lll}
-1 &\mbox{ si }x\in [-1,-{1\over n}]\vspace*{0.3cm} \\
nx &\mbox{ si }x\in ]-{1\over n},{1\over n}] \vspace*{0.3cm} \\
1 &\mbox{ si }x\in ]{1\over n},1] \\
\end{array}
\right.\)
La suite \(f_n\) est-elle de Cauchy dans \((E,\|{.}\|_{1})\), \((E,\|{.}\|_{2})\) et
dans \((E,\| {.}\|_\infty)\)? Conclusions?