Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dans \(\R\). On définit une norme sur \(E\) en posant \[\|f\|_1=\int_{-1}^1 |f(t)| \,dt.\] On va montrer que \(E\) muni de cette norme n’est pas complet. Pour cela, on définit une suite \((f_n)_{n\in\N^*}\) par \[f_n(t)=\begin{cases} -1 &\text{si\ } -1\le t \le -\frac1n\\ nt &\text{si\ } -\frac1n\le t \le \frac1n\\ 1 &\text{si\ \ \ \ \ } \frac1n \le t\le 1. \end{cases}\]
Vérifier que \(f_n\in E\) pour tout \(n\ge 1\).
Montrer que \[\|f_n-f_p\|\le \sup(\frac2n,\frac2p)\] et en déduire que \((f_n)\) est de Cauchy.
Supposons qu’il existe une fonction \(f\in E\) telle que \((f_n)\) converge vers \(f\) dans \((E,\|\cdot\|_1)\). Montrer qu’alors on a \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)-f(t)|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-f(t)|\, dt=0\] pour tout \(0<\alpha<1\).
Montrer qu’on a \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)+1|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-1|\, dt=0\] pour tout \(0<\alpha<1\). En déduire que \[\begin{align*} &f(t)=-1\qquad &\forall t\in[-1,0[\\ &f(t)=1\qquad &\forall t\in ]0,1]. \end{align*}\] Conclure.