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Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espace des polynômes trigonométriques \(p\) de degré \(\leq N\), \(p(t)=\sum_{-N}^N c_k\exp(ikt).\)
On pose, pour \(p\in E\), \(\Vert p\Vert_{\infty}=\sup_{t\in[0,2\pi]} \vert p(t)\vert\), et \(\Vert p\Vert=\sum_{-N}^N \vert c_k\vert\). Montrer, à l’aide de l’identité de Parseval, que ces deux normes vérifient \[\Vert p\Vert_{\infty}\leq \Vert p\Vert\leq\sqrt{2N+1}\Vert p\Vert_{\infty}.\]