1
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) centrées aux points \((1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)\); \(A\) leur réunion contient \(0\) comme point intérieur. Trouver le rayon de la plus grande boule ouverte centrée en \(0\) et contenue dans \(A\).
2
On se pose plus généralement le problème dans \({\Rr}^n\) : \(A\) désigne l’union \(\cup_j\overline B(e_j,1)\cup_j\overline B(-e_j,1)\) où \((e_j)\) est la base canonique de \({\Rr}^n\). Montrer que \(x\in A\) si et seulement si \(\Vert x\Vert_2^2\leq 2\Vert x\Vert_\infty\). En déduire que le rayon de la plus grande boule ouverte centrée en \(0\) et contenue dans \(A\) est \({2\over\sqrt n}\).