Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur \([0,1]\) telles que \(f(0)=0.\)
1
On pose pour tout \(f\in E\), \(N(f)= \Vert f\Vert _{\infty}+\Vert f'\Vert _{\infty}\). Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\)
2
Montrer que, si \(f\in E\) alors, pour tout \(x\in [0,1]\) : \(\displaystyle{ f(x) = e^{-x}\int _0 ^x e^t(f(t)+f'(t))dt}\).
3
On pose, pour tout \(f\in E\), \(N'(f)= \Vert f+f'\Vert _{\infty}\). Montrer que \(N'\) est une norme sur \(E\), équivalente à \(N\).