Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\C\) de boule unité fermée \(\overline B\) et \(F\) un sous-espace vectoriel fermé de \(E\). On va montrer que si \(F\not=E\),
\[\sup_{x\in\overline B} d(x,F)=1.\]
1
Etablir les propriétés pour \(x,x'\in E, y\in F, \lambda\in\C\) :
(i) \(d(x,F)\leq ||x||\).
(ii) \(d(\lambda x,F)=|\lambda| d(x,F)\).
(iii) \(d(x-y,F)=d(x,F)\)
(iv) \(d(x+x',F)\leq d(x,F)+d(x',F)\).
2
Soit \(x\in\overline B\) tel que \(\alpha=d(x,F)>0\). Montrer que pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(y\in F\) tel que : \[\alpha\leq ||x-y||<\alpha(1+\varepsilon).\]
3
Montrer qu’il existe \(x'\in\overline B\) tel que : \({1\over{1+\varepsilon}}=d(x',F)<1\).
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En déduire le résultat.