Soit \(\Vert \quad \Vert\) une norme sur \(\Rr ^n\) et \(A=(a_{i,j})_{i,j\in {1,\cdots n}}\in M_n(\Rr ).\) On pose : \[\Vert A\Vert=\sup_{x\in \Rr^n ;\Vert x\Vert =1}\Vert Ax\Vert .\]
1
Montrer qu’on définit ainsi une norme sur \(M_n(\Rr ).\)
2
On munit \(\Rr ^n\) de la norme \(\Vert \quad \Vert _1.\) Montrer que \(\displaystyle{\Vert A\Vert _1= \max _{ 1\leq j \leq n}(\sum _{j=1}^n \vert a_{i,j}\vert ).}\)