Soit \(G\) sous-groupe de \(\Zz/8\Zz\), alors \(\mathrm{Card} G\) divise \(\mathrm{Card} \Zz/8\Zz = 8\). Donc \(\mathrm{Card} G \in \{1,2,4,8\}\). De plus si \(G\) contient la classe \(\bar{n}\) d’un nombre impair, alors \(G\) contient le sous-groupe engendré par \(\bar{n}\) qui est \(\Zz/8\Zz\) car alors \(n\) et \(8\) sont premiers entre eux, donc \(G =\Zz/8\Zz\).

Étude des cas. Si \(\mathrm{Card} G=8\) alors \(G =\Zz/8\Zz\). Si \(\mathrm{Card} G = 4\) alors \(G\) ne peut contenir que des classes d’entiers pairs d’après la remarque précédente, mais comme il y a exactement \(4\) classes d’entiers pairs alors \(G =\{ \bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6}\}\). Si \(\mathrm{Card} G = 2\) alors \(G=\{ \bar{0},x\}\) et \(x\) est un élément d’ordre \(2\), le seul élément d’ordre \(2\) de \(\Zz/8\Zz\) est \(\bar{4}\). Donc \(G=\{ \bar{0},\bar{4}\}\). Enfin si \(\mathrm{Card} G = 1\) alors \(G = \{ \bar{0} \}\).

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