Une entreprise de cybersécurité souhaite comparer l’efficacité de deux systèmes de détection d’intrusion (IDS) : le système historique IDS-A et un nouveau système basé sur l’intelligence artificielle IDS-B.
On modélise l’expérience ainsi : pour le système IDS-A (respectivement B), on considère une suite de variables aléatoires \(Y_{A,i}\) (respectivement \(Y_{B,i}\)) qui valent 1 si la \(i\)-ème attaque est détectée, et 0 sinon. On suppose que ces variables sont indépendantes et suivent une loi de Bernoulli de paramètre \(p_A\) (resp. \(p_B\)), où \(p\) représente la probabilité réelle de détection.
Les tests ont donné les résultats suivants :
IDS-A : Sur \(n_A = 250\) attaques, \(X_A = \sum\limits_{i=1}^{n_A} Y_{A,i} = 195\) détections.
IDS-B : Sur \(n_B = 280\) attaques, \(X_B = \sum\limits_{i=1}^{n_B} Y_{B,i} = 238\) détections.
L’objectif est de construire un intervalle de confiance à 95% pour la différence \(\Delta = p_B - p_A\) afin de quantifier le gain de performance.
Proposer des estimateurs sans biais \(\hat{p}_A\) et \(\hat{p}_B\) des taux de détection, puis en déduire une estimation de la différence \(\Delta\).
Quelle est la loi suivie par les variables \(X_A\) et \(X_B\) (nombre total de détections) ? Rappeler leur espérance et leur variance.
Exprimer la variance des estimateurs \(\hat{p}_A\) et \(\hat{p}_B\).
En utilisant l’indépendance des échantillons, déterminer l’écart-type de l’estimateur \(\hat{\Delta} = \hat{p}_B - \hat{p}_A\).
Calculer une estimation ponctuelle \(\hat{\sigma}_{\hat{\Delta}}\) de cet écart-type.
Justifier que la variable \(\hat{\Delta}\) suit approximativement une loi normale et préciser ses paramètres.
Construire l’intervalle de confiance à 95% pour le gain de performance \(\Delta\) et conclure.