Soit \(\theta > 0\) un paramètre inconnu. On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit une loi de Rayleigh de paramètre \(\theta\) si elle admet pour densité : \[f_\theta(x) = \frac{x}{\theta^2} e^{\frac{-x^2}{2\theta^2}} \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x).\] Soit \(X_1, \ldots, X_n\) un échantillon i.i.d. de loi \(f_\theta\). On pose \(\displaystyle \overline{Q}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2.\)
Montrer que \(\mathbb{E}[X_1^2] = 2\theta^2\) et en déduire que \(\mathrm{Var}(X_1^2) = 4\theta^4\).
Écrire la log-vraisemblance \(\ell(\theta) = \ln L(\theta; x_1, \ldots, x_n)\) de l’échantillon, puis déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance \(\hat{\theta}^2_{\mathrm{MV}}\) de \(\theta^2\).
Montrer que \(\hat{\theta}^2_n = \hat{\theta}^2_{\mathrm{MV}} = \dfrac{\overline{Q}_n}{2}\) est un estimateur sans biais de \(\theta^2\).
Montrer que \(\hat{\theta}^2_n\) converge en moyenne quadratique vers \(\theta^2\).
Montrer que pour tout \(i\), la variable \(Y_i = \dfrac{X_i^2}{\theta^2}\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\dfrac{1}{2}\).
On admet que la somme de \(n\) variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre \(\dfrac{1}{2}\) suit une loi \(\chi^2(2n)\).
En déduire que \(T_n = \dfrac{n\,\overline{Q}_n}{\theta^2}\) suit une loi \(\chi^2(2n)\).
En déduire un intervalle de confiance exact de niveau \(95\%\) pour \(\theta^2\), symétrique en probabilité. On notera \(c_1 = \chi^2_{2n;\,0{,}025}\) et \(c_2 = \chi^2_{2n;\,0{,}975}\) les valeurs de la table de la loi \(\chi^2(2n)\) aux niveaux \(2{,}5\%\) et \(97{,}5\%\).
À l’aide du théorème central limite, déterminer la loi asymptotique de \(\sqrt{n}\!\left(\hat{\theta}^2_n - \theta^2\right)\).
En déduire un intervalle de confiance asymptotique de niveau \(95\%\) pour \(\theta^2\).
Sans hypothèse supplémentaire sur la loi de \(\hat{\theta}^2_n\), montrer qu’il existe une constante \(M > 0\) ne dépendant ni de \(\theta\) ni de \(n\) telle que, pour tout \(\lambda > 0\) : \[P\!\left(\left|\hat{\theta}^2_n - \theta^2\right| \geq \lambda\theta^2\right) \leq \frac{M}{n}.\]
En déduire un intervalle de confiance de niveau au moins \(95\%\) pour \(\theta^2\) via l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Comparer sa largeur à celle des intervalles obtenus aux questions 8 et 10 : quel est le prix à payer pour ne pas utiliser la loi exacte de \(\hat{\theta}^2_n\) ?