On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
1
Montrer que, \(x_0 \neq 0\) et \(x_0'\) étant donnés dans \(\Rr\), il existe une unique solution \(\varphi\) définie au voisinage de \(0\), telle que \(\varphi (0) =x_0\) et \(\varphi '(0) =x'_0\).
2
Si de plus \(x'_0 \neq 0\), on peut supposer que \(\varphi\) est un \(C^1\)–difféomorphisme d’un voisinage de \(0\) sur un voisinage de \(x_0\) (pourquoi?); on note \(\psi\) l’application réciproque et on pose \(z(x) = \varphi '( \psi (x))\). Calculer \(z'(x)\), trouver l’équation satisfaite par \(z\) et expliciter \(z\); en déduire une expression de \(\varphi\).
3
Quelle est la solution \(\varphi\) de l’équation telle que \(\varphi (0) = x_0 \neq 0\) et \(\varphi ' (0) =0\).