Soit \(f\) une application \(K\)-lipschitzienne sur un ouvert \(U\subset \Rr^n\). On va démontrer que le flot de solutions de \(x'=f(x)\), supposé défini sur un intervalle \([t_0,t_1]\), dépend continument de la condition initiale \(x(t_0)=x_0\).
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Soit \(x_1,\ x_2\) deux telles solutions; montrer que si \(t\in[t_0,t_1]\), \[||x_1(t)-x_2(t)||\leq ||x_1(t_0)-x_2(t_0)||e^{K(t-t_0)}\]
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En déduire le résultat et le vérifier sur l’exemple : \(x'=x^2\) sur \(\Rr\).