1
On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale associée et utiliser les cylindres de sécurités pour justifier que le procédé itératif de Picard donne une suite de fonctions \((x_n)\) convergent uniformément sur \([-1/2, 1/2]\) vers une solution du problème. Partant de \(x_0 \equiv 0\), déterminer ensuite cette suite \((x_n)\) et la solution du problème donné.
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Résoudre avec ce procédé itératif le problème \[x' = t x \quad , \quad x(0) =1 \; ,\] puis aussi \[\begin{array}{ll} x'_1= x_2 x_3 \; ,& x_1 (0) = 0 \; , \\ x'_2 = - x_1 x_3\; , & x_2(0) =1 \; ,\\ x'_3 = 2\; , & x_3(0) =0\; , \end{array}\] en commençant avec \(x_0 (t) = (0,1,0)\).