On suppose dans cet exercice que l’on dispose d’une fonction normale() pour simuler la variable \(\mathcal{N}(0,1)\) et de rand() pour simuler la loi \(\mathcal{U}([0;1])\).
Soient \((X_i)_{i \geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) selon la loi \(\mathcal{N}(0,1)\).
On cherche une valeur approchée de l’intégrale suivante : \[I = \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} dx\]
Pour tout \(i \geq 1\), exprimer \(\mathbb{E}(X_i^2)\) sous forme d’intégrale.
Montrer que \(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 \xrightarrow[n \to \infty]{{\rm{p.s.}}} \sqrt{\frac{2}{\pi}}I\).
Soit \(\tilde{f} \colon x \mapsto xe^{-\frac{x^2}{2}} \textbf{1}_{[0;+\infty[}(x)\). Vérifier que \(\tilde{f}\) définit une densité de probabilité et exprimer la fonction de répartition associée à cette loi.
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant une loi \(\mathcal{U}([0;1])\). Démontrer que la variable aléatoire \(\sqrt{-2\ln(1-U)}\) admet \(\tilde{f}\) comme densité. En déduire une commande permettant de simuler la loi d’une variable aléatoire admettant \(\tilde{f}\) pour densité.
En remarquant que \(\displaystyle I = \int_{0}^{+\infty} x \tilde{f}(x) dx\), déterminer une nouvelle suite convergeant presque sûrement vers \(I\). En déduire une méthode (que l’on détaillera) permettant d’approcher \(I\).