Soit \(f\) une fonction densité de \(X\). Il suffit de calculer \[\begin{align*} \mathbb{E}(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx \\ &= \int_a^b x \times \frac{1}{b-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \times \left( \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right) \\ &= \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)}\\ &= \frac{a+b}{2} \end{align*}\]

Pour calculer la variance \(\mathbb{V}(X)\), il reste à calculer : \[\begin{align*} \mathbb{E}(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2f(x)dx \\ &= \int_a^b x^2 \times \frac{1}{b-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \times \left( \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \right) \\ &= \frac{a^2+2ab+b^2}{3} \end{align*}\] puis on applique la formule de Huygens : \[\begin{align*} \mathbb{V}(X)&= \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 \\ &= \frac{a^2+2ab+b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\ &= \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}\]

Paramètres de la loi uniforme