Posons \((1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}\) où \(a_n\) et \(b_n\) sont des entiers naturels. On a alors \((1-\sqrt{3})^n=a_n-b_n\sqrt{3}\) et donc

\[(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}=2a_{2n+1}\in\Nn.\]

Mais de plus, \(-1<1-\sqrt{3}< 0\) et donc, puisque \(2n+1\) est impair, \(-1<(1-\sqrt{3})^{2n+1}<0\). Par suite,

\[2a_{2n+1}<(1+\sqrt{3})^{2n+1}<2a_{2n+1}+1,\]

ce qui montre que \(E((1+\sqrt{3})^{2n+1})=2a_{2n+1}=(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}\) et montre déjà que \(E((1+\sqrt{3})^{2n+1})\) est un entier pair. Mais on en veut plus :

\[\begin{align*}\ensuremath (1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}&=(1+\sqrt{3})((1+\sqrt{3})^2)^n+(1-\sqrt{3})((1-\sqrt{3})^2)^n\\ &=(1+\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})^n\\ &=2^n((1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n) \end{align*}\]

Montrons enfin que \((1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n\) est un entier, pair. Mais, \((1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n\) est de la forme \(A+B\sqrt{3}\) où \(A\) et \(B\) sont des entiers naturels et donc, puisque \((1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n=A-B\sqrt{3}\), on a finalement \((1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n=2A\) où \(A\) est un entier.

Donc, \((1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n\) est un entier pair, ou encore \((1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}=E((1+\sqrt{3})^{2n+1})\) est un entier divisible par \(2^{n+1}\).

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