La règle de d’Alembert montre que le rayon de convergence est égal à \(+\infty\).

Pour \(n\) entier naturel donné, \(\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}=\frac{n^3+5n^2+3n-1}{(n+2)!}\) puis

\[\begin{align*}\ensuremath n^3+5n^2+3n-1&= (n+2)(n+1)n+2n^2+n-1 = (n+2)(n+1)n+2(n+2)(n+1) - 5n - 5\\ &= (n+2)(n+1)n + 2(n+2)(n+1) - 5(n+2) + 5 \end{align*}\]

Donc, pour tout réel \(x\),

\[f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+2)(n+1)n}{(n+2)!}x^n +2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)!}x^n- 5\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+2}{(n+2)!}x^n+ 5\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!}x^n.\]

Ensuite \(f(0) = -\frac{1}{2}\) et pour \(x\neq 0\),

\[\begin{align*} f(x)&=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n-1)!}x^n +2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}x^n- 5\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)!}x^n+ 5\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!}x^n\\ &= xe^x + 2e^x -5\frac{e^x-1}{x}+ 5\frac{e^x-1-x}{x^2}= \frac{e^x(x^3+2x^2-5x+5) -5x}{x^2}. \end{align*}\]

\[\forall x\in\Rr \, \quad, \quad \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n=\left\{ \begin{array}{l} \frac{e^x(x^3+2x^2-5x+5) -5x}{x^2}\;\text{si}\;x\in\Rr^*\\ -\frac{1}{2}\;\text{si}\;x=0 \end{array} \right.\]

Etude d'une série entière