Soient \(n \in \Nn^*\) et \(x_1, \ldots, x_n \in ]0, + \infty[\).
1
En utilisant la concavité du \(\log\), montrer que \((x_1 \ldots x_n)^{\frac 1n} \leq \frac{x_1 + \ldots + x_n}n\).
2
Montrer que \((x_1 \ldots x_n)^{\frac 1n} \geq \frac 1{\frac 1{x_1} + \ldots + \frac 1{x_n}}\).
3
En déduire que \(n ! \leq (\frac{n + 1}2)^n\).