\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) est le quantile de la loi \(St(\nu)\) avec une probabilité \(\gamma\) à gauche.
Un pharmacien de banlieue désire être approvisionné par un grossiste chaque soir avant 18 h. Le grossiste doit donc estimer le temps de trajet moyen de son coursier entre le dépôt et la pharmacie. Pour cela, il relève les temps de parcours, en minutes, pendant 13 trajets sur un itinéraire fixé : \[20,\quad30,\quad45,\quad39,\quad16,\quad25,\quad23,\quad19,\quad40,\quad21,\quad30,\quad19,\quad40.\] On modélise ces durées par des variables \(X_1,\ldots,X_{13}\) indépendantes de même loi \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), avec \(\sigma>0\) inconnu.
Donner une estimation ponctuelle de la moyenne du temps de parcours \(\mu\) et de son écart-type \(\sigma\), en rappelant les estimateurs utilisés et leurs propriétés.
Le pharmacien affirme qu’il faut en moyenne 25 minutes pour faire le trajet, alors que le grossiste pense qu’il faut en moyenne 30 minutes.
On cherche à tester \(H_0:\mu=25\) contre \(H_1:\mu=30\). Préciser la variable de décision et sa loi sous \(H_0\).
Déterminer la région critique pour un seuil \(\alpha=5\%\).
Peut-on calculer un risque de deuxième espèce numérique sans connaître \(\sigma\) ? Exprimer ce risque en fonction de \(\sigma\).
Avec un risque de première espèce \(\alpha=5\%\), rejette-t-on \(H_0\) à partir de ces données ? Expliquer la portée de la décision.