\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) est le quantile de niveau \(\gamma\) de la loi \(St(\nu)\).
Un fournisseur d’énergie souhaite comparer la consommation de chauffage durant les mois d’hiver (décembre à février) entre deux régions géographiques \(A\) et \(B\), afin d’étudier l’adaptation de ses approvisionnements et de son réseau de distribution.
On prélève un échantillon aléatoire de ménages dans chaque région. Pour chaque ménage, une observation est sa consommation mensuelle moyenne sur les trois mois d’hiver, en kWh. Les échantillons sont indépendants ; dans chaque région, les observations sont supposées indépendantes de même distribution, de variance finie. On note \(\mu_A,\mu_B\) les moyennes des populations et \(\sigma_A^2,\sigma_B^2\) leurs variances.
| Région | Taille | Moyenne observée | Variance corrigée observée |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(n_A=200\) | \(\bar x_A=600\) | \(s_A^2=20000\) |
| \(B\) | \(n_B=100\) | \(\bar x_B=500\) | \(s_B^2=160000\) |
Les variances sont exprimées en kWh\(^2\). Les consommations sont positives ; pour comparer les moyennes, on utilisera une approximation adaptée aux grands échantillons. Pour la seule question sur Fisher, on examinera ce que donnerait une hypothèse normale supplémentaire.
Question générale : l’écart de consommation moyenne entre les régions est-il statistiquement significatif au seuil de \(5\%\) ?
Avant tout test, analyser les données de manière descriptive : calculer la différence observée entre les moyennes et les coefficients de variation ; commenter la dispersion dans chaque région.
Sous une hypothèse normale supplémentaire, réaliser un test de Fisher bilatéral au seuil de \(5\%\) pour comparer les variances. Cette hypothèse est-elle réaliste ici ? Un test préalable de variances est-il nécessaire pour utiliser Welch ?
Formuler les hypothèses pour tester si la consommation moyenne diffère entre les régions. S’agit-il d’un test bilatéral ou unilatéral ? Justifier.
Pour comparer les moyennes sans supposer l’égalité des variances, on utilise Welch. La statistique aléatoire est \[T=\frac{\overline X_A-\overline X_B}{\sqrt{\frac{S_A^2}{n_A}+\frac{S_B^2}{n_B}}}.\] Sa loi sous \(H_0\) est approchée par une loi de Student, avec les degrés de liberté estimés de Welch–Satterthwaite \[\widehat\nu_{\mathrm{obs}}= \frac{\left(\frac{s_A^2}{n_A}+\frac{s_B^2}{n_B}\right)^2} {\frac{\left(\frac{s_A^2}{n_A}\right)^2}{n_A-1}+\frac{\left(\frac{s_B^2}{n_B}\right)^2}{n_B-1}}.\] Calculer la statistique observée et les degrés de liberté estimés.
Au seuil de \(5\%\), l’écart de consommation est-il significatif ? Calculer la \(p\)-valeur et interpréter le résultat dans le contexte.
Construire un intervalle de confiance à \(95\%\) pour \(\mu_A-\mu_B\). Que peut-on en déduire ?
Synthèse : une analyste propose le test de Student à variance commune. Expliquer pourquoi cette hypothèse est peu plausible ici ; calculer néanmoins la statistique correspondante, comparer les approches et discuter l’importance des hypothèses d’un test.