Rappel: si \(A\) est un anneau (en particulier, si \(A\) est un corps), on note \(GL_n(A)\) l’ensemble des matrices carrées de dimension \(n\) à coefficient dans \(A\), qui sont inversibles. \(GL_n(A)\) forme un groupe pour la loi \(\times\) de multiplication des matrices, appelé groupe linéaire. Une matrice carrée de dimension \(n\) est dans \(GL_n(A)\) ssi son déterminant est un inversible de l’anneau \(A\) (ce qui revient à dire, lorsque \(A\) est un corps, que son déterminant est non nul).
Pour simplifier, on suppose dans l’exercice que \(A\) est un corps, noté \(\mathbb{K}\).
Montrer que \(\det:GL_n(\mathbb{K})\rightarrow\mathbb{K}^*\) est un morphisme de groupes.
On note \(SL_n(\mathbb{K})=\ker(\det)\). Dire pourquoi \(SL_n(\mathbb{K})\) est un sous-groupe distingué de \(GL_n(\mathbb{K})\) et montrer que \(GL_n(\mathbb{K})/SL_n(\mathbb{K})\cong \mathbb{K}^*\).
Reconnaître \(GL_1(\mathbb{K})\) et \(SL_1(\mathbb{K})\).
Montrer que les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures) de \(GL_n(\mathbb{K})\) forment un sous-groupe. Sont-ils distingués?
Montrer que \(Z(GL_n(\mathbb{K}))\) est le sous-groupe formé par les homothéties.