Il faut montrer que pour \(x\in G\) et \(y\in D(G)\), \(xyx^{-1} \in D(G)\). Commençons par montrer ceci pour \(y\) un générateur de \(D(G)\). Si \(y=ghg^{-1}h^{-1}\) avec \(g,h\in G\). Nous remarquons que : \[xyx^{-1} = \left( x gh x^{-1}(gh)^{-1} \right) \left( gh g^{-1}h^{-1} \right) \left( hg x (hg)^{-1}x^{-1} \right)\] qui est un produit d’éléments de \(D(G)\). Donc \(xyx^{-1}\) est un élément de \(D(G)\).

Soit maintenant \(y\) un élément quelconque de \(D(G)\), alors il s’écrit comme produit de générateurs : \[y = y_1y_2\ldots y_n,\quad \text{ avec } y_i = g_ih_ig_i^{-1}h_i^{-1}.\] Écrivons \(xyx^{-1} = (xy_1x^{-1})(xy_2x^{-1})\ldots(xy_nx^{-1})\). Chaque \(xy_ix^{-1}\) appartient à \(D(G)\). Et donc \(xyx^{-1}\). Donc \(D(G)\) est un sous-groupe distingué de \(G\). Soit \(\alpha,\beta \in G/D(G)\), alors il existe \(a,b \in G\) tels que \(\overline{a}=\alpha\) et \(\overline{b}=\beta\). Nous savons que \(aba^{-1}b^{-1}\in D(G)\) et donc \(\overline{aba^{-1}b^{-1}} = \epsilon\) où \(\epsilon\) est l’élément neutre de \(G/D(G)\). Mais \[\overline{aba^{-1}b^{-1}} = \overline{a}\overline{b}\overline{a^{-1}}\overline{b^{-1}} = \overline{a}\overline{b}\overline{a}^{-1}\overline{b}^{-1} = \alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{-1}.\] Donc \(\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{-1}=\epsilon\), autrement dit \(\alpha\beta= \beta\alpha\). Et ceci quelque soit \(\alpha\) et \(\beta\), donc \(G/D(G)\) est commutatif. Généralisation : si \(H\) est un sous-groupe distingué.

\(\bullet\) Si \(D(G) \subset H\) alors \(G/D(G)\) est un sous-groupe de \(G/H\) donc \(G/H\) est commutatif car \(G/D(G)\) l’est.
\(\bullet\) Si \(G/H\) est commutatif alors pour \(g,h \in G\) la classe de \(ghg^{-1}h{-1}\) dans \(G/H\) vérifie : \[\overline{ ghg^{-1}h{-1}} = \overline{g}\overline{h}\overline{g^{-1}}\overline{h^{-1}} = \overline{g}\overline{ g^{-1}}\overline{h}\overline{h^{-1}} = \epsilon.\] Mais les éléments dont la classe dans \(G/H\) est l’élément neutre sont exactement les éléments de \(H\). Donc \(ghg^{-1}h^{-1}\) appartient à \(H\). Ainsi tous les générateurs de \(D(G)\) sont dans \(H\) et donc \(D(G) \subset H\).

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