Soit \(f:[-a,a] \to \R\) une fonction de classe \(C^2\). Montrer que
\[\forall x \in [-a, a],\qquad
|f'(x)| \leq \frac 1{2a} |f(a) -f(-a)| + \frac{a^2+x^2}{2a}
\sup_{t \in [-a,a]} |f''(t)|.\]
Application : montrer que si \(0 \leq x \leq \pi /2\), on a
\(\sin x \geq x \cos x -x^2\).