Soit \[f:\; \begin{array}{rcl} [0,1]&\to& \mathbb{R}\\ x&\to& x(1+e^x)-e^x. \end{array}\] On recherche les zéros \(\ell\) de \(f\) dans \([0,1]\): \[f(\ell)=0.\]
Démontrer qu’il existe un unique zéro \(\ell\) de la fonction \(f\) sur \([0,1]\)
- \question{ Montrer que $\ell$ est un point fixe de $\varphi_1$. }
Montrer que \(\ell\) est un point fixe de \(\varphi_1\).
Montrer que la suite \((x_n)\) converge localement vers \(\ell\) avec un ordre de convergence supérieur ou égal à \(2\).
On considère \(\)
_2:
rcl
&&
x&& ,
\(\)
et la suite \(\)
- \question{ Montrer que $\ell$ est l'unique point fixe de $\varphi_2$ dans $[0,1]$. }
Montrer que \(\ell\) est l’unique point fixe de \(\varphi_2\) dans \([0,1]\).
Montrer que l’intervalle \([0,1]\) est stable par \(\varphi_2\) : \(\varphi_2([0,1])\subset [0,1]\).
Déterminer \(L\) tel que \(0<L<1\) que \(\varphi_2\) est \(L\)-Lipschitzienne sur \([0,1]\).
En déduire que la suite \((x_n)\) tend vers \(\ell\).
Ecrire un algorithme qui donne une approximation de \(\ell\) à \(2^{-20}\) près. Combien faut-il d’itérations pour atteindre cette précision ?