La méthode de la corde pour résoudre une équation du type \(f(x)=0\) consiste à construire la suite \((x_k)\) définie par \[\forall k \in \mathbb{N} : \quad x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_0)}\]
Sur un graphique, construire les premières itérations de cette méthode en prenant \(f(x)=x^2\) et \(x_0=1\).
De quelle méthode générale la méthode de la corde est-elle un cas particulier ? Justifier.
En déduire l’ordre minimal de convergence de la méthode de la corde, quand celle-ci converge.
On souhaite trouver une méthode efficace pour trouver une approximation de la racine carrée d’un nombre positif \(A\) donné. Considérons tout d’abord l’algorithme suivant: étant donné une valeur \(x_0\), on calcule \[x_{k+1}=x_k+\frac{A-x^2_k}{2}, \quad k=0,1,2,...\]