Comme \(\tan(\pi z) =\frac{\sin(\pi z)}{\cos(\pi z)}\) cette fonction est une fonction méromorphe de \(\C\) ayant que des pôles simples en \(1/2 \; \mathrm{mod} \; 1\). En effet, \(\cos(w)=0\) si et seulement si \(w=\pi/2 \; \mathrm{mod} \;\pi\) et \(\cos'(\pi/2+k\pi) \neq 0\). Notons \(z_k =1/2+k\), \(k\in \Z\). La formule ([1]) s’applique et donne \[\mathrm{Res}(\tan (\pi z) , z_k) =\frac{\sin(\pi z_k)}{-\pi \sin (\pi z_k)} = -\frac{1}{\pi}.\] Par conséquent : \[\int _{|z|=N} \tan(\pi z) \, dz = 2i\pi 2N \Big(-\frac{1}{\pi} \Big) = -4iN.\]

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