Il faut prendre garde au fait que les nombres \(x_k=\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})\) ne sont pas nécessairement deux à deux distincts.

1er cas. Si \(n\) est pair, posons \(n=2p\), \(p\in\Nn^*\).

\[\begin{align*}\ensuremath S_n&=\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})+\sum_{k=p}^{2p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})\\ &=\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})+\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{(2p-1-k)\pi}{2p}) \end{align*}\]

Or, \(\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{(2p-1-k)\pi}{2p})=\cotan^2(\pi-\frac{\pi}{4p}-\frac{k\pi}{2p})=\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})\) et donc \(S_n=2\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})\).

Mais cette fois ci,

\[0\leq k\leq p-1\Rightarrow 0<\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p}\leq\frac{\pi}{4p}+\frac{(p-1)\pi}{2p}=\frac{(2p-1)\pi}{4p}<\frac{2p\pi}{4p}=\frac{\pi}{2}.\]

et comme, la fonction \(x\mapsto\cotan^2x\) est strictement décroissante sur \(]0,\frac{\pi}{2}[\), les \(x_k\), \(0\leq k\leq p-1\), sont deux à deux distincts.

Pour \(0\leq k\leq p-1\), posons \(y_k=\cotan(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})\).

\[\begin{align*}\ensuremath y_k&=i\frac{e^{(2k+1)i\pi/4p}+1}{e^{(2k+1)i\pi/4p}-1}\Rightarrow e^{(2k+1)i\pi/4p}(y-k-i)=y_k+i\\ &\Rightarrow(y_k+i)^{2p}=e^{(2k+1)i\pi}(y_k-i)^{2p}=(-1)^{2k+1}(y_k-i)^{2p}=-(y_k-i)^{2p}\\ &\Rightarrow(y_k+i)^{2p}+(y_k-i)^{2p}=0\Rightarrow2(y_k^{2p}-C_{2p}^2y_k^{2p-2}+...+(-1)^p)=0\\ &\Rightarrow x_k^p-C_{2p}^2x_k^{p-1}+...+(-1)^p=0. \end{align*}\]

Les \(p\) nombres deux à deux distincts \(x_k\) sont racines de l’équation de degré \(p\) : \(z^p-C_{2p}^{2}z^{p-1}+...+(-1)^p=0\) qui est de degré \(p\). On en déduit que

\[S_n=2\sum_{k=0}^{p-1}x_k=2C_{2p}^{2}=n(n-1).\]
2ème cas. Si \(n\) est impair, posons \(n=2p+1\), \(p\in\Nn\).

\[\begin{align*}\ensuremath S_n&=\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2(2p+1)}+\frac{k\pi}{2p+1})+\cotan^2\frac{\pi}{2}+\sum_{k=p+1}^{2p}\cotan^2(\frac{\pi}{2(2p+1)}+\frac{k\pi}{2p+1})\\ &=2\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2(2p+1)}+\frac{k\pi}{2p+1}) \end{align*}\]

La même démarche amène alors à \(S_n=2C_{2p+1}^{2}=n(n-1)\).

Dans tous les cas,

\[\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})=n(n-1).\]

exo7 5315