Soient trois réels \(\alpha,a,x_0\) avec \(a>0\). On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit une loi de Pareto de paramètre \((\alpha, a, x_0)\) si elle admet pour densité la fonction \(f\) définie par : \[f(x) = \mathbf{1}_{]x_0 + a ;+\infty[}(x) \frac{\alpha}{a} \left( \frac{a}{x-x_0} \right)^{\alpha+1}\]
Dans la suite, on fixe \(a=1\) et \(x_0=0\).
Vérifier que la fonction \(f\) définit bien une densité de probabilité.
Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
Étudier l’existence de \(\E(X)\) en fonction de la valeur du paramètre \(\alpha\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètre \((\alpha,1 ,0)\) et soient deux réels \(r,s\) tels que \(r > 0\). On pose alors la variable aléatoire \(Y = rX + s\).
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(Y\).